1.1 РАСЧЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Цепь (сеть) постоянного тока содержит 19 резисторов, расположенных, как показано на рисунке 1.1. Вычислите силу тока и падение напряжения на каждом резисторе в этой цепи.

Рисунок 1.1 Последовательно-параллельная цепь постоянного тока, которую необходимо проанализировать

Процедура расчета:

1.1.1 Обозначьте цепь

Промаркируйте все секции. Отметьте направление тока через каждый резистор рисунке 1.2. Эквивалентное сопротивление последовательно-параллельной комбинации резисторов можно найти путем последовательного применения правил объединения последовательных и параллельных резисторов.

Рисунок 1.2 Расставьте обозначения токов

1.1.2 Объедините все последовательные резисторы

В последовательной цепи общее или эквивалентное сопротивление $R_{EQS}$, воспринимаемое источником, равно сумме значений отдельных резисторов:

Вычислите последовательный эквивалент элементов, соединенных последовательно на участках DE, CG и GF:

Для секции DE:

$$R_{EQS} = R_{13} + R_{14} = 200 + 40 = 240\ Ω,$$

для секции CG: $$R_{EQS} = R_{7} + R_{8} = 200 + 400 = 600\ Ω,$$

для секции GF: $$R_{EQS} = R_{10} + R_{11} = 200 + 400 = 600\ Ω,$$

Замените элементы цепи, включенные в секции DE, CG и GF, на их эквивалентные значения рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 Последовательные сопративления заменяем суммарным значением

1.1.3 Объедините все параллельные резисторы

В случае параллельной цепи из двух неравных резисторов общее суммарное(эквивалентное) сопротивление $R_{EQP}$ можно найти из следующего уравнения произведение-сумм:

$$R_{EQP} = R1‖R2 =\frac {R1*R2} {R1 + R2},$$

где ‖ означает параллельное соединение.

Суммарное параллельное сопротивление всегда меньше наименьшего из двух резисторов.

Для секции CG:

$$R5∥R6 = \frac {1000*1500} {1000 + 1500} = 600\ Ω$$

Теперь секция CG состоит из двух параллельно включенных резисторов по 600 Ω.

В случае цепи из N одинаковых резисторов соединенных параллельно, общее, или суммарное, сопротивление $R_{EQP}$ может быть определено из следующего уравнения:

$$R_{EQP} =\frac {R} {N},$$

где R - сопротивление каждого из параллельных резисторов, а N - количество параллельно соединенных резисторов.

для секции CG: $$R_{Σ(R5,R6,R7,R8)} =\frac {600} {2} = 300\ Ω;$$

для секции BC:

$$R_{Σ(R2,R3,R4)} =\frac {100} {3} = 33\frac {1} {3}\ Ω;$$

для секции EF:

$$R_{Σ(R18,R19)} =\frac {104} {2} = 52\ Ω;$$

для секции GF:

$$R_{Σ(R9,R10,R11)} =\frac {600} {2} = 300\ Ω.$$

В цепи из трех или более неравных резисторов, соединенных параллельно, общее или эквивалентное сопротивление $R_{EQP}$ равно обратной величине суммы обратных значений отдельных сопротивлений:

$$R_{EQP} =\frac {1} {(\frac {1} {R_{1}} + \frac {1} {R_{2}} + \frac {1} {R_{3}} + … + \frac {1} {R_{N}})}.$$

Суммарное параллельное сопротивление всегда меньше наименьшего резистора в параллельной комбинации.

Вычислите эквивалентное сопротивление элементов, соединенных параллельно в секции DE:

$$R_{15}‖R_{16}‖R_{17} =\frac {1} {(\frac {1} {100} + \frac {1} {200} + \frac {1} {600})} = 60\ Ω.$$

Вычислите $R_{DE}$: $$R_{Σ(R13,R14,R15,R16,R17)} = 240‖60 =$$ $$= \frac {240 * 60} {240 + 60} = 48\ Ω.$$

Замените все параллельные элементы на их суммарные значения рисунок 1.4

Рисунок 1.4 Параллельные элементы заменены их суммарными значениями

1.1.4 Объедините оставшиеся сопротивления для получения общего суммарного сопротивления.

Объедините эквивалентные последовательные сопротивления на рисунке 1.4, чтобы получить простую последовательно-параллельную схему на рисунке 1.5:

$$R_{Σ(R1,R2,R3,R4)} = R_{AB} + R_{BC}$$ $$= 20 + 33\frac {1} {3} = 53\frac {1} {3}\ Ω,$$

$$R_{Σ(R5,R6,R7,R8,R9,R10,R11)} = R_{CG} + R_{GF} =$$ $$= 300 + 300 = 600\ Ω,$$

$$R_{Σ(R12,R13,R14,R15,R16,R17,R18,R19)} =$$ $$= R_{CD} + R_{DE} + R_{EF} =$$ $$= 20 + 48 + 52 = 120\ Ω.$$

Рисунок 1.5 Схема упрощенная до простой последовательно-параллельной конфигурации

Рассчитайте полное суммарное сопротивление $R_{EQT}$:

$$R_{EQT} = 53\frac {1} {3} + \frac {600*120} {600+120} = 153\frac {1} {3}\ Ω.$$

Итоговая упрощенная схема показана на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 Окончательная упрощенная схема рис. 1.1

1.1.5 Вычислите общий ток линии используя закон Ома

$$I_1 =\frac {E} {R_{EQT}},$$

где $I_1$ - общий ток линии (A), $E$ - напряжение линии (напряжение источника питания)(V), а $R_{EQT}$ - сопротивление линии или общее суммарное сопротивление, воспринимаемое источником питания.

Подставляя значения, получаем:

$$I_1 =\frac {E} {R_{EQT}} =\frac {460} {153\frac {1} {3}} = 3\ A.$$

1.1.6 Рассчитайте ток и падение напряжения на каждом резисторе в цепи.

Смотри рисунок 1.2 и рисунок 1.4 Анализ $R_1$ дает: $I_1 = 3A$ (рассчитано на шаге 1.1.5);

$$V_1 = V_{AB} = I_1 * R_1 = 3 * 20 = 60\ V,$$

а для $R_2$, $R_3$ и $R_4$ имеем:

$$V_{BC} = V_2 = V_3 = V_4 = I_1 * R_{BC} =$$ $$= 3 * 33\frac {1} {3} = 100\ V.$$

Ток:

$$I_2 = I_3 = I_4 =\frac {100} {100} = 1\ A.$$

Следовательно, $V_{CF}$ может быть рассчитан:

$$V_{CF} = E - (V_{AB} + V_{BC}) =$$ $$= 460 - (60 + 100) = 300 В.$$

Ток от $C$ к $G$ к $F$ равен:

$$\frac {300} {600} = 0,5 A.$$

Закон тока Кирхгофа гласит: Алгебраическая сумма токов, входящих в любой узел цепи, равна алгебраической сумме токов, выходящих из этого узла: $I_{вход}$ = $I_{выход}$

… продолжение следует …

100 $